Selvsimilære fraktaler og flatefyllende kurver: En analyse av selvsimilære systemer

Abstract

Denne oppgaven har som mål å drøfte hvordan selvsimilaritet kan benyttes som et redskap i framstillingen og studiet av kurver med «patologiske» egenskaper, i all hovedsak fraktaler og flatefyllende kurver. For å kunne drøfte dette starter oppgaven med definisjon en av metriske rom før den går videre til å diskutere konvergens, kompletthet, kompakthet og kontinuitet. Dette leder til sist frem til Banach’s fikspunktteorem. Videre vil Hausdorff-metrikken introduseres og vises komplett som et steg for å knytte fraktalene og Banach’s fikspunktteorem sammen. I studiet av fraktalene vil det i hovedsak fokuseres på selvsimilære fraktaler, som studeres og beskrives gjennom to ulike måter å fremstille itererte funksjonssystemer (IFS). I kapittel 4 vil fraktaler som Sierpinski-trekanten og Koch-kurven studeres ved hjelp av en tilfeldighets-algoritme for IFS. Dette vil videre legge grunnlaget for å diskutere flatefyllende kurver i kapittel 5. Denne gangen ved hjelp av en deterministisk tilnærming av IFS.

The main purpose of this thesis is to examine how self-similarity can be used as a tool in outlining and studying curves with “pathological” properties, such as fractals and space-filling curves. The thesis starts with a formal definition of a metric space before it discusses topics as convergence, completeness, compactness, and continuity, before stating the Banach´s fixpoint theorem. Furthermore, the Hausdorff metric will be introduced and its completeness will be discussed, this as a way of implementing Banach´s fixpoint theorem to the fractal space. In the study of fractals the thesis will mainly focus on self-similar fractals. To analyze the self-similar fractals, the thesis will apply two “ways of talking about” Iterated functions system (IFS). Chapter 4 discuss fractals such as the Sierpinski triangle and the Koch curve using a random algorithm for the IFS. This establishes the foundation for chapter 5 where self-similarity will be the topic. Here a deterministic approach to the IFS will be introduced.