Hyperbolsk Geometri Aksiomatikk og modeller

Abstract

Parallellaksiomet er det eneste aksiomet der hyperbolsk geometri skiller seg fra euklidsk. Mens det i euklidsk geometri er en unik linje som går gjennom et gitt punkt og er parallell med en gitt linje, finnes det i hyperbolsk geometri uendelig mange parallelle linjer. Dette medfører mange interessante resultater, spesielt når man studerer trekanter. Vinkelsummen i enhver hyperbolsk trekant er mindre enn to rette vinkler, og arealet til trekanten er proporsjonal med vinkelsvinnet. Formlike trekanter er kongruente og dermed kan et avstandsmål utledes fra et vinkelmål. Denne oppgaven undersøker forskjellen mellom hyperbolsk geometri og de andre klassiske geometriene, og studerer modeller for hyperbolsk geometri. Den går også kort inn på hvordan hyperbolsk geometri ble oppdaget og hvorfor den var kontroversiell. I dag har hyperbolsk geometri en naturlig plass som den tredje klassiske geometrien, for et hyperbolsk plan har konstant, negativ Gaussisk krumning, mens et euklidsk plan er flatt og et sfærisk plan har konstant, positiv krumning.

The parallel axiom is the only axiom where hyperbolic geometry differs from euclidean geometry. Whereas in euclidean geometry there is a unique line through a given point that is parallel to a given line, in hyperbolic geometry there are infinitely many parallels. This leads to several interesting results, particularly when studying triangles. The sum of angles in any hyperbolic triangle is less than two right angles, and the area of the triangle is proportional to the angle deficit. Similar triangles are congruent, and thus a measure of distance can be deduced from the measure of the angles. This thesis explores the differences between hyperbolic geometry and the other classic geometries, as well as models for hyperbolic geometry. It also briefly touches on the discovery of hyperbolic geometry and why it was controversial at its time. Today, hyperbolic geometry has a natural place as the third classic geometry, for a hyperbolic plane has constant, negative Gaussian curvature, while a euclidean plane is flat and a spherical plane has constant, positive curvature.