4-torsjonspunkter på elliptiske romkurver

Abstract

Punktene på en elliptisk kurve danner en gruppe. Hvis vi kaller origo i gruppa for Q, er et n-torsjonspunkt et punkt P som er slik at nP=Q. Mengden n-torsjonspunkter danner en abelsk gruppe. Alle 3-torsjonspunktene på en elliptisk tredjegradskurve i planet er vendepunkter, og en tangentlinje snitter kurven i et slikt punkt med multiplisitet 3. Hvis kurven er en elliptisk fjerdegradskurve i rommet, er 4-torsjonspunktene hyperoskulerende, og et tangentplan snitter et slikt punkt med multiplisitet 4. Ved å bruke Hurwitz' formel, vil vi i denne oppgaven vise at det finnes 16 hyperoskulerende punkter. På en elliptisk fjerdegradskurve kan vi vise at fire punkter ligger i det samme planet hvis og bare hvis de adderes til null. Vi kan også vise at det er en isomorfi mellom 4-torsjonspunktene og elementene i den abelske gruppen ℤ4xℤ4. Ved å bruke disse to resultatene kan vi finne måter å plassere plan gjennom fire og fire av de hyperoskulerende punktene, slik at fire plan tilsammen snitter i alle 16 slike punkter. Disse fire planene danner et tetraeder som snitter den elliptiske kurven kun i de 16 hyperoskulerende punktene. Hovedmålet i denne oppgaven er å finne antall slike tetraedere.

The points of an elliptic curve form a group. If we call the origin in the group Q, an n-torsion point is a point P such that nP=Q. The n-torsion points form an abelian group. The 3-torsion points on an elliptic plane curve of degree 3 are inflection points, and a tangent line intersects the curve in such a point with multiplicity 3. If the curve is an elliptic space curve of degree 4, the 4-torsion points are hyperosculating, and a tangent plane intersects such a point with multiplicity 4. Using Hurwitz' formula, we will in this thesis show that there are 16 hyperosculating points. On an elliptic curve of degree 4, we can show that four points lie on the same plane if and only if they add up to zero. We can also show that there is an isomorphism between the 4-torsion points and the elements of the abelian group ℤ4xℤ4. Using these two results, we can find ways of placing planes through four and four of the hyperosculating points, getting four planes that intersect the curve in all 16 such points. These four planes form a tetrahedron intersecting the elliptic curve in only the 16 hyperosculating points. The main objective of this thesis is to find the number of such tetrahedrons.