Optimal kontrollteori : Diskontinuerlige differensiallikninger og diskontinuerlige integrander i kriteriene

Abstract

Denne oppgaven tar for seg tre økonomiske modeller hvor underliggende systemer endrer karakter etter å ha krysset en grense for differensiallikningene og integranden i kriteriene. Grensen for systemene er definert slik at når tilstandsvariabelen krysser en gitt størrelse, endrer systemet karakter. På det tidspunktet tilstandsvariabelen krysser grensen kan den adjungerte funksjonen gjøre et sprang, men tilstandsvariabelen forblir kontinuerlig. Løsningsmetoden for kontrollproblemene tar utgangspunkt i et memorandum av Atle Seierstad og Sigve D. Stabrun, "Discontinous control systems". Målsettingen med oppgaven er å anvende denne løsningsmetoden på kontrollproblemer, og å finne de optimale kontrollfunksjonene med systemer som endrer karakter for overskridelse av en grense.

I oljeutvinningsmodellen viser analysen to scenarioer, med og uten backstop teknologi. Med et endetidspunkt T ≤ τ setter monopolisten en optimal pris bare med hensyn på tømt og utømt reservoar/oljefelt. Hvis monopolisten ønsker å ha en lenger planperiode, utvides modellen med backstop teknologi, med et krysningspunkt lik τ. Etter å ha krysset grensen for differensiallikningen og integranden i kriteriet endrer systemet karakter ved at en backstop teknologi kommer på banen. I alle tilfellene fant jeg mulige optimale kontroller som maksimerer kriteriet. Ved å bruke eksistensteoremet kunne jeg vise at ved en modifisering av kontrollregionen at alle kontrollene er optimale.

I vekstmodellene viser jeg optimale investeringsallokeringer i bestemte tidsintervaller på planperioden. Analysene i begge modellene betrakter jeg først i det kontinuerlige tilfellet (før sprangtidspunktet) og deretter i diskontuerlige tilfellet (med sprangtidspunktet). For alle mulige tidshorisonter på planperioden viser jeg forslag til optimale kontroller og deretter ved å bruke eksistensteoremet viser jeg at kontrollene er optimale.

Løsningene blir langt mer omfattende for diskontinuerlige kontrollproblemer. Spesielt var det utfordrende i kontrollproblemet hvor Hamilton-funksjonen er konkav i x og u. Her får vi ikke nødvendigvis løst kontrollproblemet analytisk og må bruke numeriske metoder for å løse dette. Dette ble belyst i forsøket å løse kontrollproblemet i modell 3, der problemet oppstod å finne løsningen for τ, men her strakk ikke tidsbudsjettet til å finne en numerisk løsning. På sprangtidspunktet rammes den adjungerte funksjonen med et sprang. Diskontinuitet i denne funksjonen medførte at kontrollfunksjonene i kontrollproblemene i model 1 og 3 ble diskontinuerlige på sprangtidspunktet. Dette medfører at de optimale banene blir presset nedover og oppover i de respektive problemene.