Representasjoner av den Modulære Gruppa

Abstract

Representasjonsteori er et område innenfor matematikken hvor man representer- er elementer i grupper og algebraer med lineære transformasjoner av vektorrom. I lineær algebra finnes det mye verktøy, og dette kan man bruke til for eksempel å finne undergrupper. Ved å benytte matriser kan man forenkle regningen eller ta i bruk dataprogrammer som regner ved hjelp av matriser. For noen typer grupper, for eksempel endelige og kompakte, er det en fyldig teori som fyller mange bøker. For andre typer grupper, for eksempel uendelig diskrete grupper, finnes det ikke en stor generell teori. Denne oppgava legger hovedvekt på en- deligdimensjonale representasjoner av den modulære gruppa og noen av dens undergrupper. Etter en introduksjon til den modulære gruppa og representasjonsteori, kommer et kapittel om traseringen. Det vises, ved hjelp av Cayley-Hamiltons teorem, at man kan skrive trasen til potenser av matriser som lineære kombinasjoner av matriser av lavere potens. Dette fører til at karakteren til representasjoner av en uendelig gruppe kan bestemmes ut ifra karakteren til et endelig antall elementer. De mest interessante representasjonene er de irredusible, og alle klassene av 1-, 2- og 3-dimensjonale, irredusible representasjoner blir funnet i kapittel 5. Det blir også gitt konkrete eksempler på irredusible representasjoner av undergrupper som for eksempel S3 . Til slutt er det et kapittel om ekstensjoner og hvordan dette kan brukes til å finne indekomposable representasjoner. Ved hjelp av to representasjoner av dimensjon n og m kan man konstruere en indekomposabel representasjon av grad m + n.