Homotopifikspunkter og Nielsen-teori

Abstract

Et fikspunkt for en selvavbildning f: X -> X er et punkt x som oppfyller likningen f(x) = x. Mengden av fikspunkter kalles Fix(f). I fikspunktteori studeres egenskapene til Fix(f) for forskjellige f og X. Man deler mengden av fikspunker for en selvavbildning inn i ekvivalensklasser, såkalte fikspunktklasser. I Nielsen-teori studeres tallene R(f) (Reidemeister-tallet), N(f) (Nielsen-tallet) og L(f) (Lefschetz-tallet). R(f) er det totale antallet fikspunktklasser, mens N(f) er antallet essensielle fikspunktklasser, de som ikke forsvinner under homotopi. Disse tallene er alle homotopiinvariante.

Når X er en mangfoldighet kan vi gjøre en videre generalisering av Reidemeister-tallet, og se på Reidemeister-trasen, ikke et tall, men et element i en bestemt fri abelsk gruppe. Målet med oppgaven er å vise en formel for Reidemeister-trasen og å vise homotopiinvarians av denne ved hjelp av formelen. Oppgaven avsluttes med en utvidelse av formelen til å gjelde for visse endelige CW-komplekser.