Differensialgeometri på singulære flater

Abstract

Gauss-Bonnets teorem relaterer den geometriske strukturen til en flate til dens eulerkarakteristikk, en topologisk invariant. Dette teoremet forutsetter at flaten ikke inneholder noen singulariteter. I denne oppgaven vil vi bevise et Gauss-Bonnet-teorem for noen singulær flater. Først vil vi gjøre dette for to-dimensjonale orbifoldigheter, flater som er lokalt homeomorfe med R^2 modulo G for en endelig gruppe G som virker på R^2. Deretter vil vi formulere og bevise et Gauss-Bonnet-teorem for singulære flater i R^3 hvor formelen inneholder korreksjonsledd som avhenger av singularitetene.

The Gauss-Bonnet theorem relates the geometrical structure of a surface to its Euler characteristic, a topological invariant. The theorem holds under the assumption that the surface does not contain any singularities. In this thesis we will prove Gauss-Bonnet's theorem for some singular surfaces. We start by proving a Gauss-Bonnet-theorem for two-dimensional orbifolds, surfaces that are locally homeomorphic to R^2 modulo G where G is a finite group acting on R^2. Then we will state and prove a Gauss-Bonnet theorem for singular surfaces in R^3 where the formula contains terms depending on the singularities.