Positivitetsbevarende numeriske metoder for parabolske differensiallikninger

Abstract

Differensiallikninger er ofte vanskelige, eller umulige å løse analytisk, derfor er gode numeriske skjemaer er i mange situasjoner en nødvendighet. Et godt numerisk skjema er strukturbevarende, og konvergerer raskt mot den analytiske løsningen. I denne avhandlingen utforskes fire ulike skjemaer for numerisk løsning av varmelikningen med konveksjonsledd, forlengs Euler, Crank-Nicolson, endelige elementer(FEM), og mass-lumped endelige elementer. Eksplisitte positivitet- og stabilitetskrav søkes for de fire skjemaene. \\ FEM-skjemaet oppnår implisitte positivitetskrav avhengige av initialbetingelsene. , Mass-lumped FEM oppnår eksplisitte positivitetskrav når stivhetsmatrisen er en M-matrise, ellers har denne metoden også implisitte positivitetskrav. Eksplisitte stabilitetskrav er utledet for forlengs Euler og Crank-Nicolson. Von Neumann stabilitetsanalyse anvendes på alle skjemaene for å finne stabilitetskrav, hvor alle skjemaene oppnår eksplisitte krav for stabilitet. Et sentrert endelige elementer skjema foreslås som et naturlig å utforske etter standard FEM.\\ Arbeidet med FEM er gir innsikt i egenskaper ved de ulike leddene i skjemaet. Det er funnet eksplisitte krav som sikrer at stivhetsmatrisen er en M-matrise. Denne egenskapen er spesielt nyttig for posititetsbevarende elliptiske differensiallikninger. Sammenheng mellom positivitet av de kjente leddene i et FEM-skjema og stabilitet er indikert.\\ Skjemaene er implementert i python, og feilestimater gitt ved en vektet \(l^2\)-norm.

Differential equations are often difficult, or impossible to solve analytically, from this arises the need for good numerical schemes. A numerical scheme is deemed good by conserving structures of and converging quickly towards its analytical counterpart. This dissertation explores four different schemes, namely the forward Euler, Crank-Nicolson, finite element method (FEM), and a mass-lumped FEM. Explicit conditions for positivity and stability of the schemes are sought. FEM and mass-lumped FEM attain positivity by implicit conditions depending upon the initial data, with the exception of an explicit condition for mass lumped FEM when the stiffness matrix is an M-matrix. Explicit conditions are given for conservation of positivity for forward Euler and Crank-Nicolson. By applying von Neumann stability-analysis explicit conditions for stability is found for all four schemes. A centered finite element method is proposed as a natural scheme to explore after the standard FEM. Insight is given on the characteristics of terms in the finite element schemes. Explicit conditions for the stiffness-matrix being an M-matrix has been shown. This characteristic is of particular interest in modelling elliptic differential equations preserving positivity. A link between conditions for positivity of the right-hand side consisting of the known terms, and stability of the finite element method is indicated. All four schemes are implemented in python, and errors are analysed by use of a weighted \(l^2\) norm.